xf(t)를 t에 관해 적분했습니다.

이때 x는 t에 관해서는 상수 취급하게 됩니다.

따라서 x는 적분기호밖으로 나가게 되고

f(t)를 t에 관해 적분한 것은 상수로 나오게 됩니다. 그 값이 a라고 하면

절대값 기호안은 나와 있던 x가 곱해져서

f(x) = x² + 2x + |ax| 형태가 되는 것입니다.

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그런데 질문자분은 xf(x)를 x에 대해 적분하는 것으로 인식했고

그 경우 그 값은 그냥 상수가 되어서

f(x) = x² + 2x + a가 된 것입니다.

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x와 t로 구분하여 사용한 취지를 잘 이해하고 활용해야 하는 문제입니다.